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Quoi de plus réjouissant que de voir deux disciplines, à priori sans rapport ou presque, se croiser, s'observer et se mettre parfaitement d'accord autour d'un même concept : le nombre d'or. Fascinant !

Découvrez notre dossier l'arithmétique et les plantes

Une mise en parallèle très intéressante entre plantes et arithmétique : la suite arithmétique de Fibonacci, le nombre d'or et la beauté des spirales de la botanique ... intriguant !

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La suite arithmétique de Fibonacci et le nombre d'or

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Leonardo Fibonacci, ou Leonardo da Pisa, est un mathématicien italien à cheval sur les 12ème et 13ème siècles. Son plus grand titre de gloire est d'avoir popularisé en Occident la numérotation indo-arabe appelée à supplanter progressivement la numérotation romaine si peu adaptée aux opérations arithmétiques les plus simples si vous en doutez, essayez de multiplier IX par XLVIII ! .

Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence la série qui porte désormais son nom. Il n'est pas nécessaire de mémoriser chacun des termes de la suite (elle est infinie). Il suffit de se rappeler sa règle de construction: à l'exception des deux premiers, chaque terme de la suite est égal à la somme des deux termes qui le précèdent immédiatement. Par exemple:

21 = 8 + l3 ; 55 = 21+ 34

La suite de Fibonacci a une série impressionnante de propriétés qui font la joie des amateurs de mathématiques amusantes. Nous n'en retiendrons qu'une, car elle est importante pour ce qui va suivre: le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d'or qui vaut exactement ( 1+Racine(5) ) / 2 = 1.61803398...

En effet :

13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538... ; 34/21 = 1.61904... et ainsi de suite: plus on avance dans la suite de Fibonacci et plus l'écart s'amenuise.

Qu'est-ce que ce nombre d'or qui traîne derrière lui des relents de numérologie cabalistique ?

Pour un mathématicien ou physicien, c'est un nombre remarquable en ce sens qu'on le voit surgir dans des domaines apparemment très éloignés de la suite de Fibonacci: on peut citer le pentagone régulier ou la théorie du chaos.

Mais le nombre d'or déborde largement les mathématiques. Les anciens Grecs le connaissaient. Ce n'est pas une coïncidence, semble-t-il, si le fronton du Panthéon est inscrit dans un rectangle dont les longueurs des côtés adjacents ont le nombre d'or comme rapport; si ce même rapport apparaît fréquemment dans les statues de Phidias. Les peintres ou architectes "modernes" comme Botticelli, Dürer, Dali ou Le Corbusier, pour ne citer qu'eux, ont suivi l'exemple des anciens. Dans certains cas, il est possible que l'on ait voulu voir dans une oeuvre ce que leur créateur n'y avait jamais mis. Ce ne serait pas la première fois que les critiques auraient outrepassé leurs compétences.

Il n'en reste pas moins que le nombre d'or, dans notre civilisation, a été associé à des qualités esthétiques particulières. L'influence pythagoricienne n'est sans doute pas absente de cette identification dont l'histoire a prouvé la solidité.

Mais quelle relation peut-il y avoir entre le nombre d'or et les plantes ?



L'arithmétique et les spirales végétales

On s'est efforcé ci-dessus de convaincre le lecteur que les spirales de la botanique ne sacrifient pas à un penchant esthétique des plantes ou des abeilles lorsqu'elles favorisent la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Il vaut la peine de montrer à ce même lecteur à quel point le nombre d'or, malgré tout, mérite en botanique la réputation que lui ont faite Phidias et ses successeurs.

La figure 3 représente une série de points qui reproduisent fidèlement les arrangements que l'on trouve dans la marguerite ou le tournesol. Chaque point appartient à deux spirales bien visibles orientées respectivement à gauche et à droite.

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Fig. 3 - la spirale "génératrice" représentée par le trait continu porte une série de points qui imitent les arrangements botaniques. Deux points successifs le long de la spirale sont séparés par une distance angulaire constante

Pour construire ces réseaux spiralés, il suffit d'aligner ces points sur une spirale logarithmique unique de sorte que chaque point soit séparé du précédent par un angle fixe que les botanistes nomment la divergence (le nautile forme la spirale de la Fig 4 en appliquant une règle très simple: il habite la dernière chambre de sa coquille tant qu'il y est à l'aise.

Or il ne cesse de grandir; il doit un jour quitter sa cellule au profit d'une chambre plus grande qu'il fabrique sur le modèle de la précédente. Ce qui confère à la coquille ses caractéristiques et lui donne droit à l'adjectif "logarithmique", c'est que deux chambres consécutives forment toujours le même angle entre elles alors leurs tailles sont également dans un rapport fixe).

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Fig. 4 - la coquille du nautile dessine une spirale logarithmique

et angle peut se mesurer en degrés; si l'on divise ce nombre par 360 o (un tour complet), on fait appel à une autre manière de désigner les angles. C'est ainsi qu'un quart de tour ou un demi-tour correspondent à des angles de 90° ou 180°: la différence est purement verbale.

En foi de quoi, il arrive que l'on parle de divergence d'or. C'est un angle qui vaut 222°, 492° ... Il correspond à un déplacement angulaire égal à 360° multipliés par le nombre d'or et vaut 582°, 492° ... Comme cet angle dépasse 360°, il est équivalent à 582°, 492° ... - 360° (un tour complet n'a d'autre effet que de ramener un point à sa position initiale.)

Point central

Lorsqu'un arrangement spiralé fait appel à la suite de Fibonacci comme on l'a présenté en introduction, c'est que la divergence est très proche de la divergence d'or.

Mais il y a plus, et la figure 5 le montre sans ambiguïté: la divergence d'or correspond à l'arrangement le plus esthétique (bien sûr, cette affirmation n'a pas de signification en mathématique. Ce qui ne veut pas dire qu'elle soit absurde). Les réseaux spiralés représentés ici ont été construits sur la même spirale logarithmique.

Seul diffère dans chacun des cas la valeur de la divergence, et les écarts sont faibles (ils ne dépassent pas un demi-degré d'une valeur de la divergence à la valeur voisine).

Les aspects des réseaux, en revanche, varient beaucoup. On ne peut s'empêcher de constater que c'est l'arrangement spiralé correspondant à la divergence d'or qui flatte l'oeil par sa compacité et son harmonie. De fait, et même si ce n'est pas visible au premier coup d'oeil, le nombre d'or attribue au réseau associé une symétrie plus grande, la "symétrie d'échelle" qui se manifeste ici dans le domaine de la géométrie de la plante.

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Fig. 5 - on retrouve la même construction que la Fig 3, à cela près que la spirale génératrice n'a pas été représentée.Au milieu(Fig 5 b), la distance angulaire (exprimée en fraction de tour) est égale au nombre d'or; ce qui correspond à 137°, 507°, ...En haut (Fig 5 a) et en bas (Fig 5 c) les angles valent respectivement 137) et 138°

Un article écrit par François Rothen et remis en page par Michel Testaz

Pour en savoir plus ...

Par Mylène Bertaux, Futura-Sciences M

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